“NATURE OF CODE” in Houdini – 002 – 力

長い間、仕事ではパイプライン系ツールを書くことが多くなり、幾何学や物理などの数学とはだいぶ疎遠になってしまいました。

最近になって、やっとHoudiniを業務で使用させてもらえる環境が与えられたこともあり、これも良い機会ということで、これからしばらくの間、数学の勉強や復習とリハビリを兼ね、Processingの名著 [NATURE OF CODE] の内容を、Houdiniを使って追いかけていきたいと思います。




 

■動画内容の御品書

  1. シンプルな力
    単純な力を与えて動かす。
  2. 力と質量
    質量を考慮しながらシンプルな力(重力+風)を与えて動かす。
    小さいものほど風の影響を受けやすく水平方向によく動く。
  3. 力と摩擦
    摩擦による減速。
  4. 力と流体抵抗
    Y=0の位置から流体があると仮定し、ポイントが抵抗を受ける。
    この流体の範囲に入った時、ポイントは赤くなります。
  5. 引力(固定アトラクタ)
    原点の位置に引力を発生するポイントを配置し固定。
    その他のポイントは原点のポイントと引き合う。
  6. 引力(ポイントの相互作用)
    各ポイントはそれぞれ相互に引き合う力を持っている。
    質量や引力の設定にもよるが、小さな塊ができ、それぞれの塊が引き合い徐々に大きな塊になっていく。(ポイント半径に合わせたコリジョンは設定していないので、実際には、塊は大きくなりません。)

2.0 Houdiniの単位系

Houdiniは標準的なSI単位を採用している。
https://www.sidefx.com/docs/houdini15.0/dyno/about
http://www.cranenet.or.jp/tisiki/si.html

2.1 力とニュートンの運動の法則

力とは、質量を持った物体に加速度を生じさせるベクトル。

・ニュートンの運動の第1法則(慣性)

静止している物体は静止状態を続け、運動している物体は不平衡力の影響を受けないかぎり、一定の速さで一定の方向へ運動を続ける。

・ニュートンの運動の第3法則(作用・反作用)

力は常に反作用が対になって生じ、その強さは等しく、向きは正反対である。

-F[N]

 押し合う物体の質量が違う場合や、接地面の摩擦力が違う場合、同じ力が加わってもそれぞれの物体が静止し続けるとは限らない。

2.2 力とProcessing

・ニュートンの運動の第2法則(運動方程式)

質量(m)に加速度(A)を掛けあわせると力(F)になる。

・重量と質量

  • 質量(m):物体内の物質の量[kg]
  • 重量(W):物体にかかる重力[N]
  • 密度(Density):単位体積(m^3)あたりの質量(kg)

2.3 力の積算

書籍では質量を1として計算し、F=Aとして簡単化する。

通常、物体にはいくつかの外力が同時に作用する。
そのような場合、全外力の合計値を使用する。
物体に働く力は、特殊な状況を除いて常に変化し、積算されないので、毎フレームで新たな値を計算して使用する。

windForceやgravityForceなどを追加してみる。

2.4 質量

先に計算された外力を質量で割ることで、各ポイントごとに設定された質量を考慮したシミュレーションが行われる。

2.5 力の作成

・力の作り方

  • 直接指定
    自由に直接指定する
  • シミュレーション
    物理公式などを利用し、計算する。

2.6 地球と重力と力のシミュレーション

この時点では、質量が小さいものほど重力の影響を強く受けるようになっている。
物体の落下速度は、その質量にかかわらず一定。
重力加速度の式から正しい加速度を求めて適用するため、重力に質量を掛けあわせてる。

2.7 摩擦

摩擦は散逸力(非保存力)。

※散逸は、抵抗力によって運動エネルギーを熱エネルギーに変換する現象。
散逸力とは、摩擦力などのエネルギーを減少し、別の力に変換させる力。
車のブレーキなどは運動エネルギーを熱エネルギーに変換。

・摩擦の種類

  • 静止摩擦
    接触面に対し静止している物体が受けている摩擦
  • 動摩擦
    動いている物体が接触面から受ける摩擦

摩擦の方向は速度方向の逆。

・摩擦の公式

・公式を使用する際のポイント

  • 右辺を計算し、左辺に代入する。
  • 変数がベクトルかスカラーかを見極める。
  • 記号が隣り合っている場合は乗算を表す。

■各項の意味

  • F friction:摩擦により働く力

  • μ:摩擦係数

    特定の表面上に生じる摩擦力の強さ。

  • N:垂直抗力
    物体が接触面から受ける反作用で接触面に対して垂直方向に物体を押し返す力。
    物体が接触面から受ける垂直抗力の大きさは物体の質量に比例する。
  • v:正規化済みの速度ベクトル
    式中の-1と掛けわせることで摩擦による力の発生する方向を取得する。
    この場合、速度ベクトルの真逆方向に摩擦力による力が発生する。

2.8 空気抵抗と流体抵抗

物体が空気や液体(流体)の中を通り抜けるとき、抵抗力が働く。
これは、粘性力(Viscous Force)や抗力(Drag Force)、流体抵抗(Fluid Resistance)などと呼ばれる。

・流体抵抗の公式

■各項の意味

  • F drag:流体を物体が通り抜ける際に働く抗力
  • 1/2:定数
  • ρ(rho):流体の密度
  • v^2:速度ベクトルの長さの2乗
  • A:進行方を向いている面の表面積
  • Cd:抗力係数、自由に決定する
  • v:正規化された速度ベクトル

2.9 重力

■重力の公式

■各項の意味

  • F gravity:重力
  • G:万有引力定数、独自の値を使っても面白い。
  • m1とm2:相互に作用する2つの物体が持つそれぞれの質量。
  • r:物体間の距離ベクトルを正規化したベクトル。物体同士が引き合う方向。
  • r^2:物体間の距離の2乗。
    物体同士が引き合う力は距離が長いほど弱くなり、近いほど強くなる。

2.10 相互引力と反発

2.9の計算を、各ポイント間で計算し、毎フレーム全ポイントの影響を合計して適用する。


何か間違いがあればツッコミをいただけると助かります。

“NATURE OF CODE” in Houdini – 000 – はじめに

長い間、仕事ではパイプライン系ツールを書くことが多くなり、幾何学や物理などの数学とはだいぶ疎遠になってしまいました。

最近になって、やっとHoudiniを業務で使用させてもらえる環境が与えられたこともあり、これも良い機会ということで、これからしばらくの間、数学の勉強や復習とリハビリを兼ね、Processingの名著 [NATURE OF CODE] の内容を、Houdiniを使って追いかけていきたいと思います。



はじめに

I.1 ランダムウォーク

オブジェクトが累積的にランダムな方向に動く動作。


I.2 ランダム・ウォーカークラス

・ランダム・ウォーカークラスを定義

Houdiniでカスタムノードを定義することはクラスを定義することと言えそう。
ただし、現時点では継承等の仕組みがあるか不明なので、あくまでもクラスもどきの定義と解釈しています。

ここでは、まずSubnetをクラスとしてとらえつつ、その内部に、ランダムウォークする点群を複数含むオブジェクトを定義する。

・擬似ランダム値

一般的に、コンピュータ上で乱数を生成するランダム関数は実際には周期性があるので擬似的なランダム関数と言える。
ただし、周期が非常に長いため、実質的に真の乱数計算関数と言って差し支えない。


I.3 確率と一様分布(離散)

HoudiniでVEX関数のrandom()を使った場合、特定の値が出現する確率はほぼ一定。
具体例として、4種類の値を生成するランダム関数があるなら、それぞれの値が出現する確率はほぼ均等で約25%になる。

bandicam 2016-06-12 22-55-14-514

random()から出力される0~1のfloat値を0~9のint値にマッピング。
乱数を1200回発生させ、マッピング後の整数値に対応するIDを持つポイントをその都度+Y方向に移動した結果、多少のばらつきはあるものの、ほぼ均等な値が生成されていることがわかる。
このように、起こりうる結果がほぼ均等に現れる確率の分布を、一様分布と呼ぶ。
他の例としては下記のようなものもある。

  • コイントスの確率
    1/2 = 0.5 = 50%
  • 全トランプ52枚からA4枚のいずれかを引く確率
    4/52 = 0.077 = 約8%
  • 全トランプ52枚からダイヤのカード13枚のいずれかを引く確率
    13/52 = 0.25 = 25%
  • 1つのサイコロを振り、1の目が出る確率。
    1/6 = 0.166 = 約17%

・確率と非一様分布

bandicam 2016-06-12 22-55-21-874

一様分布の項で作成したランダム関数を2つ足しあわせ、値が出現する回数を計測してみる。
結果、グラフは中央値が高く、山なりになるのがわかる。

bandicam 2016-06-12 22-55-26-468

今度は、3つのランダム関数を使って同様の計算をしてみる。
より顕著に、山なりになる。

サイコロを3個振る場合を考えてみると理由は簡単。
合計値が最小の3または最大の18になるのは1または6のゾロ目の時のみで非常に確率が低いのに対し、合計値が中央付近の10になるケースはより多くの組み合わせが考えられる。

・乱数に偏りを持たせる

乱数を元に、予め用意された動作を選択する際、結果に偏りを持たせるには。

  1. 乱数を元に得たい結果がリストにまとめられているケース
    結果がリスト内に登場する回数を操作して確率に偏りを持たせる
  2. 乱数の値の範囲に応じて結果が決定するケース
    結果に対応する乱数の範囲を操作して偏りを持たせる

I.4 ランダム値の正規分布(ガウス分布)

ランダムな要素が平均値付近に集中する確率分布を正規分布やガウス分布(Gaussian)、ラプラス分布(Laplacian)などと呼ぶ。

[参考サイト] NtRand – 正規分布
http://www.ntrand.com/jp/normal-distribution-single/

 例として、無作為に選んだ人々の身長の分布を考える。
百歩譲っていくら確率が0ではないと言っても、身長0.1cmの人や身長10mの人はそうそういない。
平均慎重と言われている165cm付近が最も多くなるはず。

・ベル型曲線

確率の平均[μ]と標準偏差[σ]により求められる、確率分布を表すグラフ。

  • 平均:μ
    起こりうる値の平均値。
  • 標準偏差:σ
    偏差とは、値と平均値の差。
    平均偏差は全偏差の平均。
    標準偏差は、分散の平均の平方根。(※分散は偏差の2乗)

・乱数の生成(random)

HoudiniにおけるVEX関数のrandom()は、0~1の範囲で一様分布の乱数を発生させる事ができる。(その他にも、3Dノイズなども出力できる)

・乱数の生成(noise)

HoudiniにおけるVEX関数のnoise()はシンプルなパーリンノイズ。
正規分布をもとに乱数を発生させる。
ループ中で新たなポイントを作成しながら乱数を発生させ、@P.xに与えていくと、各ポイントは下図のように配置されていく。

図では色が薄く見づらいが、μ=0.5、σ=1の正規分布で乱数が生成され、x=0.5の付近でより高密度にポイントが作成されていることがわかる。
※1マス=0.25


I.5 ランダム値のカスタム分布

  • 分岐条件を乱数をもとに判定(レヴィフライト風アルゴリズム)
    乱数の発生を一様分布でも正規分布でもない独自のものにしたい場合のテクニック。正規分布の乱数中で、時折「突発的」にレンジの大きな乱数を発生させたい場合は、現在の乱数生成の機会が「突発的」なものであるか判定し、突発的であると判断された場合、結果の範囲が大きな乱数を発生させるようにする。

    上の例では、incidentが0.1以下(10%)の確率でレンジの大きな乱数を生成している。
  • 出力が条件に適合するまで乱数の生成を試行する(モンテカルロ法風アルゴリズム)
    値が大きければ大きいほど選ばれやすくしたい場合のテクニック。
    乱数を2つ使い、片方がもう片方より大きかった場合に乱数を出力する。

I.6 パーリンノイズ(よりスムーズな手法)

有機的なものの表現には、ランダム値の中にも連続性が必要になる。
その場合、ランダムかつ連続的に変化する値を出力するnoise関数を使用するとよい。
HoudiniのVEX関数 noise()は、正規分布に近い連続的でランダムな値を返すパーリンノイズ関数で、整数を与えるとすべて同じ値(0.5)を返すようになっているので、引数は極力整数値にしないように注意する。

・疑問

Mayaの場合、noise()関数は周期性を感じさせない上に、出力される値も-1~1の範囲にきっちり収まるようになっている。
そのため、単純なフレーム番号を引数にするだけで延々と連続的なランダム値を生成し続け、その値を係数にして角度の変化などを計算する際、変化のレンジにただ掛け合わせるだけでよかった。

Houdiniのnoise()関数は、整数値を与えると全く同じ値が返る上に、結果が正規分布で得られるため、Mayaのnoise()関数と全く同じ感覚では使えない。

正規分布のおかげで結果を有機的にしやすい反面、変化幅の上下限をきっちり決めづらくとても気持ち悪く感じてしまう。(例えば毎フレーム何らかのオブジェクトの角度を変化させたい時、0~180度の角度範囲を上下限とし、-1~1の範囲の係数をかけて使いたい場合など)
もしかしてMayaのnoise()に近い関数があるんだろうか?(誰かご存知でしたら教えて下さい)

・パーリンノイズによるランダムウォーク

・2次元のノイズ

パーリンノイズは1~4次元の値を引数に取り、同様に1~4次元の値を出力できる。

・@Cdにnoise(x,y)の結果を適用
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・@P.yにもnoise(x,y)の結果を適用

※わかりやすくするため、頂点数とカラーのレンジを調整済み


I.7 展望

この章では、自然現象をシミュレートする際に必要となる確率や乱数を学習した。
ランダム性を取り入れることで、より自然で複雑な要素を作成できる。
だがしかし、同じアルゴリズムにばかり頼ってしまうと結果的にパターンが透けて見えてしまい、結果が退屈な仕上がりになる場合もあるので、より多くの手法を身につけ、引き出しを増やし、様々なニーズに臨機応変に対応できるスキルを磨くことが大事。


[資料]

NtRand – 確率分布Navi

確率分布 Navi


http://www.ntrand.com/jp/gallary-of-distributions/


何か間違いなどあればツッコミいただけると喜びます。
よろしくお願いします。